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【喜欢数学的朋友,阿基米德穷竭法求Y=X^2中(1|n)^3*n(n-1)(2n-1)|6以后怎么推】
1人问答
更新时间:2024-03-29 17:59:35
问题描述:

喜欢数学的朋友,阿基米德穷竭法求Y=X^2中(1|n)^3*n(n-1)(2n-1)|6以后怎么推

邓晓回答:
  这个式子中学生也知道的,不是到了微积分才遇到的.   证明这个式子一般都是用下面的方法:   因为(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1,分别取k=1,2,…,n写出n个等式:   2^3-1^3=3*1^2+3*1+1   3^3-2^3=3*2^2+3*2+1   ……   (n+1)^3-n^3=3*n^2+3*n+1   把这n个等式两边相加,得到   (n+1)^3-1^3=3*(1^2+2^2+…+n^2)+3*(1+2+…+n)+n   即n^3+3n^2+3n=3*(1^2+2^2+…+n^2)+3n(n+1)/2+n   由此可以解得:1^2+2^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6   你的式子只要用n-1代入n就可以得到.   用完全类似的方法,可以求得   1^3+2^3+…+n^3   1^4+2^4+…+n^4   ……
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